作者：Heinrich

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来源：知乎

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这三种变换都非常重要！任何理工学科都不可避免需要这些变换。

这三种变换的本质是将信号从时域转换为频域。傅里叶变换的出现颠覆了人类对世界的认知：世界不仅可以看作虽时间的变化，也可以看做各种频率不同加权的组合。举个不太恰当的例子：一首钢琴曲的声音波形是时域表达，而他的钢琴谱则是频域表达。

三种变换由于可以将微分方程或者差分方程转化为多项式方程，所以大大降低了微分（差分）方程的计算成本。

另外，在通信领域，没有信号的频域分析，将很难在时域理解一个信号。因为通信领域中经常需要用频率划分信道，所以一个信号的频域特性要比时域特性重要的多。

具体三种变换的分析（应该是四种）是这样的：

傅里叶分析包含傅里叶级数与傅里叶变换。傅里叶级数用于对周期信号转换，傅里叶变换用于对非周期信号转换。

但是对于不收敛信号，傅里叶变换无能为力，只能借助拉普拉斯变换。（主要用于计算微分方程）

而z变换则可以算作离散的拉普拉斯变换。（主要用于计算差分方程）

从复平面来说，傅里叶分析直注意虚数部分，拉普拉斯变换则关注全部复平面，而z变换则是将拉普拉斯的复平面投影到z平面，将虚轴变为一个圆环。（不恰当的比方就是那种一幅画只能通过在固定位置放一个金属棒，从金属棒反光才能看清这幅画的人物那种感觉。）

 

第一个问题，为什么要进行着三种变换

三种变化均是将原先在时域表示的信号变换到频域进行表示，在频率域分析信号的特征。当信号变换到频域后，就会出现很多时域中无法直接观察到的现象

第二个问题：三种变化的关系</b><br>之前说了三种变换都是讲原先在时域中表示的信号，变换到频域中表示。但是根据傅里叶变化的定义，只能对能量有限的信号进行变换（也就是可以收敛的信号），无法对能量无限的信号进行变换（无法收敛的），所以就出现了拉氏变换，在原先的傅里叶变换公式中乘以一个衰减因子，使得能量无限的信号也能进行时频变换。<br>Z变换就是离散信号的拉氏变换。<br><b>第三个问题：研究的什么？</b><br>还是之前说的研究的就是信号的时频变换。拉氏变换和Z变换都是傅里叶变换的延伸。<br>一点都不夸张的说，没有傅里叶变换就没有现代通信技术，进一步说就没有现代文明！<br>作为一个通信专业的学生，这三种变换是基础的基础，建议题主不要想太多，先把基础理论学扎实。